Bagaimana cara untuk mengetahui SN pada CD/DVD installer Windows 7?

Apabila anda lupa atau kehilangan produck key pada DVD installer windows 7 namun anda tidak tahu harus berbuat apa atau mungkin saja anda akan membuangnya DVD installer win 7 tersebut ke tong sampah, Pada kesempatan ini saya akan berbagi pengalaman dengan anda semua yang mana jika anda mempunyai masalah seperti yang saya sebutkan diatas lebih baik anda ikuti tutorial ini untuk mendapatkan kembali serial number windows 7 di DVD instalasi.

1. Masukkan DVD Instalasi Windows Seven ke dalam DVD Drive Anda.
2. Highlight pada DVD Drive.
3. Klik tombol Search dan klik all files and folders.
4. Ketik PRODUCT kemudian tekan tombol search

READMORE - Bagaimana cara untuk mengetahui SN pada CD/DVD installer Windows 7?

Jam Istirahat Organ Tubuh

Zaman sekarang masyarakat sudah super sibuk,jadi setiap orang terkadang lupa dengan kesehatan dalam tubuhnya sendiri…Jadi saya mau sedikit kasih info jadwal kerja organ tubuh kita.

Berikut jadwal kerja organ kita :

LAMBUNG Jam 07.00 – 09.00 Jam piket organ lambung  sedang kuat, sebaiknya makan pagi untuk proses pembentukan energi tubuh sepanjang hari. Minum jus atau ramuan sebaiknya sebelum sarapan
pagi, perut masih kosong sehingga zat yang berguna segera terserap
tubuh.

LIMPA Jam 09.00 – 11.00 Jam piket organ limpa kuat, dalam mentransportasi cairan nutrisi untuk energi pertumbuhan. Bila pada jam-jam ini mengantuk, berarti fungsi limpa lemah. Kurangi konsumsi gula, lemak, minyak dan protein hewani.

JANTUNG Jam 11.00 – 13.00 Jam piket organ jantung kuat, harus istirahat, hindari panas dan olah fisik, ambisi dan emosi terutama pada penderita gangguan pembuluh darah.

HATI Jam 13.00 – 15.00 Jam piket organ hati lemah, bila orang tidur, darah merah berkumpul dalam organ hati dan terjadi proses regenerasi sel-sel hati. Apabila fungsi hati kuat maka tubuh kuat untuk menangkal semua penyakit.

PARU-PARU Jam 15.00 – 17.00 Jam piket organ paru-paru lemah, diperlukan istirahat, tidur untuk proses pembuangan racun dan proses pembentukan energi paru-paru.

GINJAL Jam 17.00 – 19.00 Jam piket organ ginjal kuat, sebaiknya digunakan untuk belajar karena terjadi proses pembentukan sumsum tulang dan otak serta kecerdasan.

LAMBUNG Jam 19.00 – 21.00 Jam piket organ lambung lemah sebaiknya tidak mengkonsumsi makan yang sulit dicerna atau lama dicerna atau lebih baik sudah berhenti makan.

LIMPA Jam 21.00 – 23.00 Jam piket organ limpa lemah, terjadi proses pembuangan racun dan proses regenerasi sel limpa. Sebaiknya istirahat sambil mendengarkan musik yang menenangkan jiwa, untuk meningkatkan imunitas.

JANTUNG Jam 23.00 – 01.00 Jam piket organ jantung lemah. Sebaiknya sudah beristirahat tidur, apabila masih terus bekerja atau begadang dapat melemahkan fungsi jantung.

HATI Jam 01.00 – 03.00 Jam piket organ hati kuat.
Terjadi proses pembuangan racun/limbah hasil metabolisme tubuh. Apabila ada gangguan fungsi hati tercermin pada kotoran dan gangguan mata. Apabila ada luka dalam akan terasa nyeri.

PARU-PARU Jam 03.00 – 05.00 Jam piket organ paru-paru kuat, terjadi proses pembuangan limbah/racun pada organ paru-paru, apabila terjadi batuk, bersin-bersin dan berkeringat menandakan adanya gangguan fungsi  paru-paru. Sebaiknya digunakan untuk olah nafas untuk mendapatkan energi paru yang sehat dan kuat.

USUS BESAR Jam 05.00 – 07.00 Jam piket organ usus besar kuat, sebaiknya biasakan BAB secara teratur.

READMORE - Jam Istirahat Organ Tubuh

Cyber Crime

A. Pengertian Cyber Crime

Pada saat ini komputer merupakan sebuah alat atau mesin yang sangat dibutuhkan oleh semua kalangan, baik anak-anak sekolah, mahasiswa bahkan orang tua dan juga para guru atau dosen. Komputer sendiri sudah menjadi benda multifungsi, yang tadinya hanya untuk mengerjakan tugas-tugas atau melakukan pembukuan dan membuat program, namun seiring dengan melesatnya perkembangan teknologi didunia, komputer sendiri sekarang dimanfaatkan dalam hal negatif yaitu untuk melakukan kejahatan yang dilakukan dengan bantuan internet atau sering juga disebut dengan “CYBERCRIME atau COMPUTER CRIME”.

Cybercrime adalah istilah yang mengacu kepada aktivitas kejahatan dengan komputer atau jaringan komputer menjadi alat, sasaran atau tempat terjadinya kejahatan. Termasuk ke dalam kejahatan dunia maya antara lain adalah penipuan lelang secara online, pemalsuan cek, penipuan kartu kredit/carding, confidence fraud, penipuan identitas, pornografi anak, dll.(Wikipedia)

Cybercrime adalah kejahatan yang memanfaatkan teknologi komputer dan informasi (Muhammad Mustofa, 2007: 136-137). Sedangkan menurut Kepolisian Inggris, cyber crime adalah segala macam penggunaan jaringan komputer untuk tujuan kriminal dan atau kriminal berteknologi tinggi dengan menggunakan kemudahan teknologi digital (Abdul Wahid dan Mohammad Labib, 2005: 2). Sedangkan menurut Barua dan Dayal (2001) cyber crime pada dasarnya adalah kejahatan lama (konvensional) tetapi menggunakan teknologi baru (Muhammad Mustofa, 2007: 137).

Walaupun kejahatan dunia maya atau cybercrime umumnya mengacu kepada aktivitas kejahatan dengan komputer atau jaringan komputer sebagai unsur utamanya, istilah ini juga digunakan untuk kegiatan kejahatan tradisional di mana komputer atau jaringan komputer digunakan untuk mempermudah atau memungkinkan kejahatan itu terjadi.

B. Jenis – Jenis Cyber Crime

1.      Carding

Carding adalah berbelanja menggunakan nomor dan identitas kartu kredit orang lain, yang diperoleh secara ilegal, biasanya dengan mencuri data di internet. Sebutan pelakunya adalah Carder. Sebutan lain untuk kejahatan jenis ini adalah cyberfroud alias penipuan di dunia maya. Menurut riset Clear Commerce Inc, perusahaan teknologi informasi yang berbasis di Texas – AS , Indonesia memiliki carder terbanyak kedua di dunia setelah Ukrania. para carder kini beroperasi semakin jauh, dengan melakukan penipuan melalui ruang-ruang chatting di mIRC. Caranya para carder menawarkan barang-barang seolah-olah hasil carding-nya dengan harga murah di channel. Misalnya, laptop dijual seharga Rp 1.000.000. Setelah ada yang berminat, carder meminta pembeli mengirim uang ke rekeningnya. Uang didapat, tapi barang tak pernah dikirimkan.

2.      Hacking

Hacking adalah kegiatan menerobos program komputer milik orang/pihak lain. Hacker adalah orang yang gemar ngoprek komputer, memiliki keahlian membuat dan membaca program tertentu, dan terobsesi mengamati keamanan (security)-nya. Hacker memiliki wajah ganda; ada yang budiman ada yang pencoleng. Hacker Budiman memberi tahu kepada programer yang komputernya diterobos, akan adanya kelemahan-kelemahan padaprogram yang dibuat,sehingga bisa “bocor”, agar segera diperbaiki. Sedangkan, hacker pencoleng, menerobos programorang lain untuk merusak dan mencuri datanya.

3.      Cracking

Cracking adalah hacking untuk tujuan jahat. Sebutan untuk cracker adalah hacker bertopi hitam (black hat hacker). Berbeda dengan carder yang hanya mengintip kartu kredit, cracker mengintip simpanan para nasabah di berbagai bank atau pusat data sensitif lainnya untuk keuntungan diri sendiri. Meski sama-sama menerobos keamanan komputer orang lain, hacker lebih fokus pada prosesnya. Sedangkan cracker lebih fokus untuk menikmati hasilnya.

4.      Spamming

Mengirim surat elektronik (e-mail) kepada alamat e-mail orang lain yang tidak diperlukan oleh penerima surat dan tidak mengenal atau tidak memiliki hubungan apapun dengan pengirim. E-mail yang dikirim Bisa berupa barang dan jasa, termasuk pornografi.

5.      Defacing

Defacing adalah kegiatan mengubah halaman situs/website pihak lain, Tindakan deface ada yang semata-mata iseng, unjuk kebolehan, pamer kemampuan membuat program, tapi ada juga yang jahat, untuk mencuri data dan dijual kepada pihak lain.

6.      Phising

Phising adalah kegiatan memancing pemakai komputer di internet(user) agar mau memberikan informasi data diri pemakai (username) dan kata sandinya (password) pada suatu websiteyang sudah di-deface.

7.      Malware

Malware adalah program komputer yang mencari kelemahan dari suatu software. Umumnya malware diciptakan untuk membobol atau merusak suatu software atau operating system. Malware terdiri dari berbagai macam, yaitu: virus, worm, trojan horse, adware, browser hijacker, dll.

C. Contoh Kasus Cyber Crime

v  DI INDONESIA

Aparat Satuan Cyber Crime Direktorat Reserse Khusus Kepolisian Daerah Metro Jaya telah menangkap Dani Firmansyah (25), yang diduga kuat sebagai pelaku yang membobol situs (hacker) di Pusat Tabulasi Nasional Pemilu Komisi Pemilihan Umum (TNP KPU). Kepada polisi, Dani mengaku meng-hack situs tersebut hanya karena ingin mengetes keamanan system keamanan server tnp.kpu.go.id, yang disebut-sebut mempunyai sistem pengamanan berlapis-lapis. Pada tanggal 17 April 2004 melakukan deface11 dengan mengubah nama – nama partai yang ada dengan nama- nama buah dalam website www.kpu.go.id, yang mengakibatkan berkurangnya kepercayaan masyarakat terhadap Pemilu yang sedang berlangsung pada saat itu. Dikhawatirkan, selain nama – nama partai yang diubah bukan tidak mungkin angka-angka jumlah pemilih yang masuk di sana menjadi tidak aman dan dapat diubah, padahal dana yang dikeluarkan untuk sistem teknologi informasi yang digunakan oleh KPU sangat besar sekali. Untung sekali bahwa apa yang dilakukan oleh Dani tersebut tidak dilakukan dengan motif politik, melainkan hanya sekedar menguji suatu system keamanan yang biasa dilakukan oleh kalangan underground12 (istilah bagi dunia Hacker).

v  DI LUAR NEGERI

Grup Bank Dunia pertama kali diberitahu mengenai adanya instruksi dari FBI di bulan September 2007, ketika pegawai pajak menyelidiki kasus cybercrime yang menyangkut transaksi di Johannesburg, Afrika Selatan. Fox News menyatakan bahwa kasus cybercrime Bank Dunia ini telah dimasukkan ke dalam memo internal dan dikirm ke pegawai Bank Dunia. Namun pihak Bank Dunia belum memberikan responnya. Grup Bank Dunia yang bermarkas di Washington, D.C., bukanlah bank tradisional. Bank Dunia telah membangun International Bank for Reconstruction and Development dan International Development Association, juga menyediakan sumber vital dari keuangan dan teknikal untuk mengembangkan negara di seluruh dunia. Bank Dunia merepresentasikan sekitar 185 negara yang menjadi membernya dan menggelar kampanye tahunan anti kemiskinan seharga USD 25 triliun. Menurut Fox News, serangan yang menyebabkan kebobolan di Bank Dunia menimpa 40 server miliknya yang telah dimasuki attacker, termasuk satu serangan dalam sebuah server yang mencari celah merekam data. Selain itu, juga ada dua server yang dimasuki attacker datang dari blok alamat IP yang sama dari Cina. Namun, Graham Cluley, konsultan teknologi dari Sophos, menyatakan hal tersebut bukan berarti attacker-nya berasal dari Cina, hanya saja mereka menggunakan computer yang berlokasi di Cina. “Idealnya, jika Anda memiliki organisasi yang besar maka Anda akan memiliki tim testing untuk mengecek system apakah ada kelemahannya atau tidak. Hal ini dilakukan sebelum hacker benar-benar mengetahui kelemahan yang ada.”, kata Cluley. Oleh karena kasus ini, Fox News telah mempublikasikan memo sejak 19 Agustus 2008 lalu, dimana staff Bank Dunia telah diberitahukan untuk mengganti password pribadi dan mulai menggunakan kartu keamanan untuk mengakses aplikasi orgnasisasi Bank Dunia dari jarak jauh. Kartu yang digunakan telah memakai VeriSign yang telah disinkronisasikan dengan sebuah server internal dan akan menampilkan string password yang valid dalam beberapa menit. Cluley menambahkan, setiap perusahaan sebaiknya melengkapi pegawainya dengan kartu keamanan dan password atau mengenkripsi data, atau jika tidak maka attacker dapat dengan mudah mengirim spyware di desktop untuk merekam password.

D. Peringkat Cyber Crime Indonesia

Jumlah kasus “cyber crime” atau kejahatan di dunia maya yang terjadi di Indonesia adalah yang tertinggi di dunia antara lain karena banyaknya aktivitas para “hacker” di Tanah Air. “Kasus `cyber crime` di Indonesia adalah nomor satu di dunia,” kata Brigjen Anton Taba, Staf Ahli Kapolri, dalam acara peluncuran buku Panduan Bantuan Hukum Indonesia (PBHI) di Jakarta, Rabu. Brigjen Anton Taba memaparkan, tingginya kasus “cyber crime” dapat dilihat dari banyaknya kasus pemalsuan kartu kredit dan pembobolan sejumlah bank.Menurut dia, para “hacker” lebih sering membobol bank-bank internasional dibandingkan dengan bank-bank dalam negeri. Setelah Indonesia, ujar Anton, negara lainnya yang memiliki jumlah kasus “cyber crime” tertinggi adalah Uzbekistan. Karena tingginya kasus “cyber crime”, ia juga mengkritik buku PBHI yang tidak memiliki bagian khusus yang membahas tentang hal tersebut.

E. Undang-Undang Cyber Crime

Undang-Undang Tentang Informasi dan Transaksi Elektronik, namun masyarakat lebih mengenal nama Undang-Undang cyber crime, atau undang-undang tentang kejahatan di dunia maya. Berikut ini beberapa pasalnya:

Pidana 1 tahun dan denda Rp 1 miliar
Pasal 26: Setiap orang dilarang menyebarkan informasi elektronik yang memiliki muatan pornografi, pornoaksi, perjudian, dan atau tindak kekerasan melalui komputer atau sistem elektronik.

Pidana empat tahun penjara dan denda Rp 1 miliar
Pasal 27 (1): Setiap orang dilarang menggunakan dan atau mengakses komputer dan atau sistem elektronik dengan cara apapun tanpa hak, untuk memperoleh, mengubah, merusak, atau menghilangkan informasi dalam komputer dan atau sistem elektronik.

Pidana enam bulan dan denda Rp 100 juta
Pasal 22: (1) Penyelenggara agen elektronik tertentu wajib menyediakan fitur pada agen elektronik yang dioperasikannya yang memungkinkan penggunanya melakukan perubahan informasi yang masih dalam proses transaksi.

Pasal 25: Penggunaan setiap informasi melalui media elektronik yang menyangkut data tentang hak pribadi seseorang harus dilakukan atas persetujuan dari orang yang bersangkutan, kecuali ditentukan lain oleh peraturan perundang-undangan

Pidana enam bulan atau denda Rp 100 juta
Pasal 23 (2): Pemilikan dan penggunaan nama domain sebagaimana dimaksud dalam ayat (1) wajib didasarkan pada itikad baik, tidak melanggar prinsip persaingan usaha secara sehat, dan tidak melanggar hak orang lain. (Tindak pidana sebagaimana dimaksud dalam ayat (1) hanya dapat dituntut atas pengaduan dari orang yang terkena tindak pidana)

Pidana delapan tahun penjara dan denda Rp 2 miliar

Pasal 27 (3): menggunakan dan atau mengakses komputer dan atau sistem elektronik dengan cara apapun tanpa hak, untuk memperoleh, mengubah, merusak, atau menghilangkan informasi pertahanan nasional atau hubungan internasional yang dapat menyebabkan gangguan atau bahaya terhadap Negara dan atau hubungan dengan subyek hukum internasional.

Pasal 28 (1): Setiap orang dilarang melakukan tindakan yang secara tanpa hak yang menyebabkan transmisi dari program, informasi, kode atau perintah, komputer dan atau sistem elektronik yang dilindungi negara menjadi rusak.

Pasal 30 (1): Setiap orang dilarang menggunakan dan atau mengakses komputer dan atau sistem elektronik milik pemerintah yang dilindungi secara tanpa hak.

Pasal 30 (2): Setiap orang dilarang menggunakan dan atau mengakses tanpa hak atau melampaui wewenangnya, komputer dan atau sistem elektronik yang dilindungi oleh negara, yang mengakibatkan komputer dan atau sistem elektronik tersebut menjadi rusak.

Pasal 30 (3): Setiap orang dilarang menggunakan dan atau mengakses tanpa hak atau melampaui wewenangnya, komputer dan atau sistem elektronik yang dilindungi oleh masyarakat, yang mengakibatkan komputer dan atau sistem elektronik tersebut menjadi rusak.

Pasal 30 (4): Setiap orang dilarang mempengaruhi atau mengakibatkan terganggunya komputer dan atau sistem elektronik yang digunakan oleh pemerintah.

Pasal 33 (2): Setiap orang dilarang menyebarkan, memperdagangkan, dan atau memanfaatkan kode akses (password) atau informasi yang serupa dengan hal tersebut, yang dapat digunakan menerobos komputer dan atau sistem elektronik dengan tujuan menyalahgunakan komputer dan atau sistem elektronik yang digunakan atau dilindungi oleh pemerintah.

Pasal 34: Setiap orang dilarang melakukan perbuatan dalam rangka hubungan internasional dengan maksud merusak komputer atau sistem elektronik lainnya yang dilindungi negara dan berada di wilayah yurisdiksi Indonesia.

Pidana 20 tahun dan denda Rp 10 miliar
Pasal 27 (2): Setiap orang dilarang menggunakan dan atau mengakses komputer dan atau sistem elektronik dengan cara apapun tanpa hak, untuk memperoleh, mengubah, merusak, atau menghilangkan informasi milik pemerintah yang karena statusnya harus dirahasiakan atau dilindungi.

Pidana 10 tahun dan denda Rp 2 miliar

Pasal 31 (1): Setiap orang dilarang menggunakan dan atau mengakses komputer dan atau sistem elektronik secara tanpa hak atau melampaui wewenangnya untuk memperoleh keuntungan atau memperoleh informasi keuangan dari Bank Sentral, lembaga perbankan atau lembaga keuangan, penerbit kartu kredit, atau kartu pembayaran atau yang mengandung data laporan nasabahnya.

Pasal 31 (2): Setiap orang dilarang menggunakan dan atau mengakses dengan cara apapun kartu kredit atau kartu pembayaran milik orang lain secara tanpa hak dalam transaksi elektronik untuk memperoleh keuntungan.

Pasal 33 (1): Setiap orang dilarang menyebarkan, memperdagangkan, dan atau memanfaatkan kode akses (password) atau informasi yang serupa dengan hal tersebut, yang dapat digunakan menerobos komputer dan atau sistem elektronik dengan tujuan menyalahgunakan yang akibatnya dapat mempengaruhi sistem elektronik Bank Sentral, lembaga perbankan dan atau lembaga keuangan, serta perniagaan di dalam dan luar negeri.

Pasal 35: Masyarakat dapat mengajukan gugatan secara perwakilan terhadap pihak yang menggunakan teknologi informasi.

F. Penanggulangan Cyber Crime

Untuk menanggulangi kejahatan internet yang semakin meluas maka diperlukan suatu kesadaran dari masing-masing negara akan bahaya penyalahgunaan internet. maka berikut adalah langkah ataupun cara penanggulangan secara global :

1. Modernisasi hukum pidana nasional berserta hukum acaranya diselaraskan dengan konvensi internasional yang terkait dengan kejahatan tersebut
2. Meningkatan standar pengamanan system jaringan computer nasional sesuai dengan standar internasional.
3. Meningkatkan pemahaman serta keahlian aparat hukum mengenai upaya pencegahan, inventigasi, dan penuntutan perkara-perkara yang berhubungan dengan cybercrime.
4. Meningkatkan kesadaran warga Negara mengenai bahaya cybercrime dan pentingnya pencegahan kejahatan tersebut.
5. Meningkatkan kerja sama antar Negara dibidang teknologi mengenai hukum pelanggaran cybercrime.

READMORE - Cyber Crime

Misteri Bilangan Lubang Hitam : 123

Dalam astronomi dan fisika, kita mengenal adanya suatu fenomena alam yang sangat menarik yaitu lubang hitam (black hole). Lubang hitam adalah suatu entitas yang memiliki medan gravitasi yang sangat kuat sehingga setiap benda yang telah jatuh di wilayah horizon peristiwa (daerah di sekitar inti lubang hitam), tidak akan bisa kabur lagi. Bahkan radiasi elektromagnetik seperti cahaya pun tidak dapat melarikan diri, akibatnya lubang hitam menjadi "tidak kelihatan".

Ternyata, dalam matematika juga ada fenomena unik yang mirip dengan fenomena lubang hitam yaitu bilangan lubang hitam. Bagaimana sebenarnya bilangan lubang hitam itu? Mari kita bermain-main sebentar dengan angka.

Coba pilih sesuka hati Anda sebuah bilangan asli (bilangan mulai dari 1 sampai tak hingga). Sebagai contoh, katakanlah 141.985. Kemudian hitunglah jumlah digit genap, digit ganjil, dan total digit bilangan tersebut. Dalam kasus ini, kita dapatkan 2 (dua buah digit genap), 4 (empat buah digit ganjil), dan 6 (enam adalah jumlah total digit). Lalu gunakan digit-digit ini (2, 4, dan 6) untuk membentuk bilangan berikutnya, yaitu 246.

Ulangi hitung jumlah digit genap, digit ganjil, dan total digit pada bilangan 246 ini. Kita dapatkan 3 (digit genap), 0 (digit ganjil), dan 3 (jumlah total digit), sehingga kita peroleh 303. Ulangi lagi hitung jumlah digit genap, ganjil, dan total digit pada bilangan 303. (Catatan: 0 adalah bilangan genap). Kita dapatkan 1, 2, 3 yang dapat dituliskan 123.

Jika kita mengulangi langkah di atas terhadap bilangan 123, kita akan dapatkan 123 lagi. Dengan demikian, bilangan 123 melalui proses ini adalah lubang hitam bagi seluruh bilangan lainnya. Semua bilangan di alam semesta akan ditarik menjadi bilangan 123 melalui proses ini, tak satu pun yang akan lolos.

Tapi benarkah semua bilangan akan menjadi 123? Sekarang mari kita coba suatu bilangan yang bernilai sangat besar, sebagai contoh katakanlah 122333444455555666666777777788888888999999999. Jumlah digit genap, ganjil, dan total adalah 20, 25, dan 45. Jadi, bilangan berikutnya adalah 202.545. Lakukan lagi iterasi (pengulangan), kita peroleh 4, 2, dan 6; jadi sekarang kita peroleh 426. Iterasi sekali lagi terhadap 426 akan menghasilkan 303 dan iterasi terakhir dari 303 akan diperoleh 123. Sampai pada titik ini, iterasi berapa kali pun terhadap 123 akan tetap diperoleh 123 lagi. Dengan demikian, 123 adalah titik absolut sang lubang hitam dalam dunia bilangan.

Namun, apakah mungkin saja ada suatu bilangan, terselip di antara rimba raya alam semesta bilangan yang jumlahnya tak terhingga ini, yang dapat lolos dari jeratan maut sang bilangan lubang hitam, sang 123 yang misterius ini? 

sumber: forumsains

READMORE - Misteri Bilangan Lubang Hitam : 123

Menuju Ke Abstrak

    Pemahaman akan pengertian abstrak sepertinya masih dianggap sebagai suatu yang sulit bahkan tak teraplikasi. Bagi orang di pinggir jalan, boleh jadi menganggap orang yang belajar matematika abstrak sebagai orang sinting.

     Saatnya kita harus menguak apa yang dimaksud abstrak dalam matematika? Apakah suatu yang tidak real? Hanyakah ngoyoworo ataukah hanyakah khayalan orang? Apakah seperti aljabar abstrak itu suatu yang mengada-ada saja ataukah memang harus menuju ke situ?

    Berikut semoga bisa memberi gambaran akan pemahaman tersebut. Sebagai langkah-langkah sebelum ke abstrak, kita berkecimpung dengan aritmatika yang di dalamnya ada proses seperti penjumlahan, perkalian, dan ada penggunaan variabel. Pengenalan abstrak di SMA biasanya dimulai dengan pelajaran induksi matematik dimana harus membuktikan keteraturan sampai tak hingga dengan membuktikan implikasi  P_k--->P_k+1 dan membuktikan P₀ benar.
     Waktu kita melangkah dari perhitungan dasar ke penggunaan variabel, kita meluaskan orientasi kepada cakupan perhitungan yang lebih luas. Kita bisa mengoperasikan bilangan-bilangan tanpa mengetahui berapa bilangannya, cukup dengan variabel. Nah ini, dari aritmatika menuju abstrak yang banyak membuat kepala para mahasiswa sakit, sebenarnya juga merupakan perluasan orientasi menuju semakin beragam dan semakin luas. Kita mulai dengan mempelajari sekelompok obyek, lalu interaksi antar obyek, yang lalu kita namakan operasi biner, mempelajari keteraturannya, mempelajari ciri-cirinya, lalu memformulasikannya menjadi aksioma-aksioma.

     Contoh di bawah mungkin bisa menjadi bayangan akan langkah tersebut, kita mulai dengan PENGANTAR TEORI BILANGAN.

Subgroup bilangan bulat
Kita perhatikan perhatikan himpunan bilangan bulat (integer), yaitu {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} yang lalu biasa dinotasikan dengan Z. < huruf Z ini adalah diambil dari singkatan Zahl=bilangan dari Bhs Jerman>
Diberikan suatu himpunan bagian dari Z, katakanlah himpunan S. Himpunan S disebut subgroup dari Z jika memenuhi :
(i) x+y anggota dari S untuk setiap x dan y anggota dari S,
(ii) 0 anggota dari S,
(iii) -x anggota dari S untuk setiap x anggota dari S.

< catatan : Kalau pernah mempelajari tentang teori group, maka syarat-syarat di atas tidak lain sifat tertutup(i), ada elemen identitas(ii), dan untuk setiap anggota dari S yang bukan 0 punya invers. Di kasus bilangan bulat ini sifat asosiatif bisa dirunut dg mudah dari sifat tertutup >

Suatu himpunan bagian tak kosong S dari Z adalah subgroup jika dan hanya jika x - y anggota dari S untuk setiap x dan y anggota dari S.
Bukti :
S subgroup dari Z ==> x - y anggota S untuk setiap x,y anggota S
Karena y anggota dari S, maka -y anggota dari S
Karena x dan -y anggota dari S, maka x+(-y)=x-y anggota dari S
x - y anggota S untuk setiap x,y anggota S ==> S subgroup dari Z
Karena S tak kososng maka ada anggotanya, misalkan x anggota dari S, maka x-x=0 adalah anggota dari S , jadi 0 dan x anggota dari S sehingga 0-x=-x anggota dari S , lalu jika x dan y anggota dari S, sehingga -y anggota dari S, lalu x-(-y)=x+y anggota dari S . Terbukti.

Taruhlah m adalah bilangan bulat, dan kita buat notasi mZ={mn|n anggota Z}. Maka mZ adalah subgroup dari Z.

Teorema I
Jika S adalah saubgroup dari Z, maka S = mZ untuk suatu bilngan bulat tak negatif m. < dengan kata lain, teorema ini mengatakan bahwa kalau S adalah subgroup dari Z, maka pasti berbentuk himpunan kelipatan dari suatu bilangan bulat tak negatif {0,1,2,3,...} >
Bukti :
Kita buat dua kemungkinan, yaitu :
pertama --> jika S = {0}, maka dapat ditulis S=mZ dengan m=0.
kedua --> jika S tidak sama dengan {0}, atau S memuat bilangan bulat tak nol. Maka tentunya S memuat bilangan bulat positif < karena jika x anggota S maka -x juga anggota S >. Kita ambil misalnya m adalah bilangan bulat positif yang terkecil di S. Lalu suatu bilangan bulat positif n di S akan dapat ditulis dalam bentuk n=qm+r, dimana q adalah suatu bilangan bulat positif dan r suatu bilangan bulat yang memenuhi 0<=r. Dengan demikian r juga anggota S, karena r=n-qm. Karena diasumsikan m adalah yang terkecil, maka haruslah r=0. Jadi n=qm, dengan demikian n anggota mZ, yang berarti S=mZ. Terbukti.

Teorema tersebut mengatakan bahwa kalau sebuah himpunan yang anggotanya bilangan-bilangan bulat serta memenuhi tiga aksioma untuk subgroup di atas, maka tentulah anggota-anggota himpunan tersebut berbentuk kelipatan dari suatu bilangan bulat positif.

Faktor Persekutuan Terbesar
Definisi :
Taruhlah a₁,a₂,...,a_r adalah bilangan bulat, yang tidak semuanya nol. Faktor persekutuan dari a₁,a₂,...,a_r adalah suatu bilangan bulat yang membagi habis setiap a₁,a₂,...,a_r. Faktor persekutuan terbesar dari a₁,a₂,...,a_r adalah bilangan bulat positif terbesar yang membagi habis setiap a₁,a₂,...,a_r. Faktor persekutuan terbesar dari a₁,a₂,...,a_r dinaotasikan dengan (a₁,a₂,...,a_r).

Teorema II
Taruhlah a₁,a₂,...,a_r adalah bilangan bulat, yang tidak semuanya nol. Maka ada bilangan-bilangan bulat sebutlah u₁,u₂,...,u_r sedemikian hingga
(a₁,a₂,...,a_r)=a₁u₁ + a₂u₂ + . . . +a_ru_r
dimana (a₁,a₂,...,a_r) adalah Faktor Persekutuan Terbesar dari a₁,a₂,...,a_r.
Bukti :
Pembuktian teorema ini, pertama kita harus menunjukkan bahwa suatu himpunan S yang anggota-anggotanya berbentuk n₁a₁ + n₂a₂ + . . . +n_ra_r dimana n_1, n_2,..., n_r bilangan-bilangan bulat merupakan subgroup dari Z dengan menunjukkan terpenuhinya  3 aksioma di atas. Lalu setelah terbukti, maka karena
S subgroup Z, akan berbentuk mZ. Dengan kata lain bahwa setiap anggota S merupakan kelipatan dari m. Dengan demikian m adalah faktor persekutuan dari a₁,a₂,...,a_r. Karena FPB adalah faktor persekutuan, maka otomatis ada u₁,u₂,...,u_r sehingga (a₁,a₂,...,a_r)=a₁u₁ + a₂u₂ + . . . +a_ru_r. Terbukti.

    Kiranya, ini bisa menjadi gambaran bahwa yang namanya abstrak bukan suatu yang tidak aplikatif, melainkan adalah perluasan orientasi kita dalam memandang. Memang terlihat lebih sulit, karena kita mencoba menengok yang disebalik dari yang nampak.

     Semoga bermanfaat bagi semuanya.

 sumber: forumsains

READMORE - Menuju Ke Abstrak